Tugas 5 Lingga 1903015140 Aljabar Boolean

Aljabar Boolean

    Dalam matematika dan logika matematika, aljabar Boolean adalah cabang aljabar di mana nilai-nilai variabel adalah nilai kebenaran benar dan salah, biasanya dilambangkan dengan 1 dan 0. Alih-alih aljabar dasar, di mana nilai-nilai variabel adalah angka dan operasi prima adalah penambahan dan perkalian, operasi utama dari aljabar Boolean adalah konjungsi (dan)/conjunction (and) dilambangkan sebagai ∧, disjungsi (atau)/disjunction (or) dilambangkan sebagai ∨, dan negasi (tidak)/negation (not) dilambangkan sebagai ¬. Dengan demikian formalisme untuk menggambarkan operasi logis, dengan cara yang sama bahwa aljabar dasar menggambarkan operasi numerik.

Basic operations

  Operasi dasar aljabar Boolean adalah konjungsi, disjungsi, dan negasi. Operasi Boolean ini diekspresikan dengan operator biner AND yang sesuai, dan OR dan operator unary NOT, secara kolektif disebut sebagai operator Boolean.

Operasi Boolean dasar pada variabel x dan y didefinisikan sebagai berikut:

Logical operation	Operator	Notation	Alternative notations	Definition
Conjunction	AND	x∧y	x AND y, Kxy	x∧y = 1 if x = y = 1, x∧y = 0 otherwise
Disjunction	OR	x∨y	x OR y, Axy	x∨y = 0 if x = y = 0, x∨y = 1 otherwise
Negation	NOT	¬x	NOT x, Nx, x̅, x', !x	¬x = 0 if x = 1, ¬x = 1 if x = 0

Atau nilai x∧y, x∨y, dan ¬x dapat dinyatakan dengan mentabulasi nilainya dengan tabel kebenaran sebagai berikut:

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\wedge y}$ ${\displaystyle x\vee y}$ 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \neg x}$ 0 1 1 0

Laws of Boolean Algebra

    Hukum aljabar Boolean adalah identitas seperti x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z antara dua suku Boolean, di mana suku Boolean didefinisikan sebagai ekspresi yang dibangun dari variabel dan konstanta 0 dan 1 menggunakan operasi ∧, ∨, dan ¬. Konsep dapat diperluas ke istilah yang melibatkan operasi Boolean lain seperti ⊕, →, dan ≡, tetapi ekstensi seperti itu tidak diperlukan untuk tujuan penerapan hukum. Tujuan tersebut mencakup definisi aljabar Boolean sebagai model apa pun dari hukum Boolean, dan sebagai sarana untuk menurunkan hukum baru dari yang lama seperti dalam penurunan x ∨ (y ∧ z) = x ∨ (z ∧ y) dari y ∧ z = z ∧ y.

Annulment Law – Suku yang di-ANDkan dengan "0" sama dengan 0 atau ATAU dengan "1" sama dengan 1

        A . 0 = 0    Variable yang di-ANDkan dengan 0 selalu sama dengan 0

        A + 1 = 1    Variable yang di-ORkan dengan 1 selalu sama dengan 1

Identity Law – Suku yang di-OR‘kan dengan “0” atau di-ANDkan dengan “1” akan selalu sama dengan suku tersebut

        A + 0 = A   Variable yang di-ORkan dengan 0 selalu sama dengan variable tersebut

        A . 1 = A    Variable yang di-ANDkan dengan 1 selalu sama dengan variable tersebut

Idempotent Law – Sebuah intput yang di-ANDkan atau di-ORkan dengan itu sendiri maka sama dengan input tersebut

        A + A = A    Variable yang di-ORkan dengan itu sendiri maka sama dengan variable tersebut

        A . A = A    Variable yang di-ANDkan dengan itu sendiri maka sama dengan variable tersebut

Complement Law – Suku AND dengan komplemennya sama dengan “0” dan suku OR´ed dengan komplemennya sama dengan “1”

        A . A = 0    Variable yang di-ANDkan dengan komplemennya selalu sama dengan 0

        

        A + A = 1    Variable yang di-ORkan dengan komplemennya selalu sama dengan 1

Commutative Law – Urutan penerapan dua suku terpisah tidaklah penting

        A . B = B . A    Urutan di mana dua variabel di-ANDkan tidak ada bedanya

        A + B = B + A    Urutan di mana dua variabel di-ORkan tidak ada bedanya

Double Negation Law – Suatu suku yang dibalik dua kali sama dengan suku aslinya

        A = A     Komplemen ganda suatu variabel selalu sama dengan variabel tersebut

de Morgan’s Theorem – Ada 2 buah aturan or teorama “de Morgan’s”,

(1) 2 suku terpisah yang di-NORkan serentak sama dengan suku yang dibalik (Complement) dan di-ANDkan contohnya:  A+B = A . B

(2) 2 suku terpisah yang di-NANDkan serentak sama dengan suku yang dibalik (Complement) dan di-ORkan contohnya:  A.B = A + B

 

Hukum aljabar Boolean lainnya yang tidak dirinci di atas termasuk:

Boolean Postulates – Meskipun bukan Hukum Boolean, ini adalah seperangkat Hukum Matematika yang dapat digunakan dalam penyederhanaan Ekspresi Boolean.

        0 . 0 = 0    A 0 AND’ed with itself is always equal to 0

        1 . 1 = 1    A 1 AND’ed with itself is always equal to 1

        1 . 0 = 0    A 1 AND’ed with a 0 is equal to 0

        0 + 0 = 0    A 0 OR’ed with itself is always equal to 0

        1 + 1 = 1    A 1 OR’ed with itself is always equal to 1

        1 + 0 = 1    A 1 OR’ed with a 0 is equal to 1

        1 = 0    The Inverse (Complement) of a 1 is always equal to 0

        0 = 1    The Inverse (Complement) of a 0 is always equal to 1

Distributive Law – Hukum ini mengizinkan perkalian atau pemfaktoran dari suatu ekspresi.

        A(B + C) = A.B + A.C    (OR Distributive Law)

        A + (B.C) = (A + B).(A + C)    (AND Distributive Law)

Absorptive Law – Hukum ini memungkinkan pengurangan ekspresi rumit menjadi lebih sederhana dengan menyerap suku-suku serupa.

        A + (A.B) = (A.1) + (A.B) = A(1 + B) = A  (OR Absorption Law)

        A(A + B) = (A + 0).(A + B) = A + (0.B) = A  (AND Absorption Law)

Associative Law – Hukum ini memungkinkan penghapusan tanda kurung dari ekspresi dan pengelompokan ulang variabel.

        A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C    (OR Associate Law)

        A(B.C) = (A.B)C = A . B . C    (AND Associate Law)

Sumber: 

    > https://onlinelearning.uhamka.ac.id

    > https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra

    > https://www.electronics-tutorials.ws/boolean/bool_6.html